Les grandeurs: la mesure des grandeurs

Une grandeur est tout ce qui prend dans des conditions biens définies une valeur déterminée qui peut varier (croître ou décroître) si les conditions elles-mêmes varies. Exemple: une longueur, une section, une intensité de courant.
On exprime la valeur d'une grandeur par un nombre qui est le résultat de la mesure. Mesurer une grandeur c'est chercher combien de fois elle contient une grandeur de même espèce choisie comme unité, exemple: soit à mesurer une longueur de fil AB, le mètre étant l'unité de longueur si le résultat est de 5 alors la longueur AB=5m.

La valeur exacte et la valeur approchée d'une grandeur

Soit à mesurer une certaine grandeur A une longueur par exemple si l'on recommence plusieurs fois la mesure avec le même soin, on trouve généralement les nombres légèrement différents. On a aucune raison d'affirmer que c'est l'un plutôt l'autre qui est la valeur exacte de A. C'est-à-dire que le nombre a résultat de la mesure d'une grandeur A n'est qu'une valeur approchée de A.
Si a_e est la valeur exacte de a, la différence §=a-a_e est appelée erreur absolue de la mesure. Cette erreur résulte souvent des causes diverses:

Les erreurs systématiques

Elles ont pour causes:

Les erreurs accidentelles

Elles peuvent provenir:

En somme les résultats d'une mesure comportent toujours des erreurs.

L'incertitude absolue

L'erreur absolue §_a n'étant pas connue, on dit se contenter d'en rechercher une limite supérieure D_a appelée incertitude absolue telle que |§_a|<=D_a.
Soit A une grandeur invariable, on mesure plusieurs fois la valeur de a et on trouve les nombres suivants: a₁, a₂, a₃,... a_n tel que a₁<a₂<a₃<a_n
On prend pour valeur exacte A la valeur approchée a_n/2 qui est en effet la valeur médiane des différents nombres obtenus lors de la mesure. On a donc: a_n/2= (a₁+a_n)/2
L'incertitude absolue sera donc l'écart entre cette valeur médiane et les valeurs extrêmes.
On a donc D_a = a_n/2 - a₁ ; D_a = a_n - a_n/2
Exemple: Les résultats de la mesure du segment AB, ont données des nombres compris entre 209,5mm et 210,5mm.
La valeur approchée sera donc égale:
l₀ = (209,5 + 210,5)/2 ↔ l₀ = 210mm
Et l'incertitude absolue sera donc:
D_l = 210,5 - 210 = 0,5mm
l = l₀ ± D_l
l = 210 ± 0,5mm

L'incertitude relative

On appelle erreur relative, le rapport §_a/a_e.
Comme §_a et a_e ne sont pas connus, on se sert souvent d'une limite supérieur appelée incertitude relative et donnée par la relation D_a/a, avec a: valeur approchée de a_e et D_a l'incertitude absolue de a.
On se sert de l'incertitude relative pour caractériser la précision d'une mesure.

Les calculs d'incertitudes

Théorème des incertitudes absolues

Soit A₁, A₂, A₃... A_n, n grandeur tel que G = A₁ + A₂ + A₃ + ... + A_n.
On a: D_g = D_a1 + D_a2 + D_a3 + ... + D_an
L'incertitude absolue d'une somme algébrique de nombres incertains est égale à la somme arithmétique des incertitudes absolues de ces nombres.

Théorème des incertitudes relatives

Soit A₁, A₂, A₃, ... A_n, n grandeurs tels que B₁, B₂ ... B_n
G₁ = A₁ x A₂ x A₃x ... x A_n
G₂ = A₁xA₂xA₃x...xA_n/B₁xB₂xB₃x...xB_n
D_g1/g₁ = D_a1/a₁ + D_a2/a₂ + ... + D_an/a_n
D_g2/g₂ = D_a1/a₁ + D_a2/ + ... + D_an/a_n + D_b1/a₁ + D_b2/b₂ + D_bn/b_n