Théories de l'approximation et calculs limités - Calcul des limites

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Calcul des limites

Principaux développement en série entière de fonction classiques: au voisinage de x0=0

x→ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... + xK/K! + ...

x→Cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + (-1)px2p/2p! + ...
x→Sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)p+1x2p+1/(2P+1)! + ...

x→Ch(x) = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! + ... + x2P/2P! + ...
x-→Sh(x) = x + x3/3! + x5/5! + x7/7! + ... + (-1)P+1x2P+1/(2P+1)! + ...

Ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ... + (-1)P+1xP/P + ...
Arct(x) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + ... + (-1)P+1x2P+1/(2P+1) + ...

Valeur approchées à 10-P près

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Formule d'interpolation

Interpolation d'équation simple

Soient y0, y1, y2, ... yn les valeurs prises par une certaines fonctions y=f(x) lorsque x prend les valeurs respectives x0, x1, x2, ... xn équidistantes.
x1-x0=x2-x1=...=xn-xn-1=H constante
de plus y1-y0=D0; Y2-Y1=D1...; yn-yn-1=Dn-1
Alors si y et x sont tels que (xi<x<xi+1) et (yi<y<yi+1) on montre que:

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Démonstration:

Donnons l'expression complète de y0, y1, ..., yn en fonction de Di
D0=y1-y0; D02=D1-D0=(y2-y1)-(y1-y0)=y2-2y1+y0
Remplaçons y2 et y0 par leur expression en fonction de y0
D1-D0=y2-2(y0+D0)+y0
D1-D0=y2-y0-2D0
y2=(D1-D0)+y02D0
y2=D02+y0+2D0 (1)

Ecrivons x1, x2, ..., xn eb fonction de H
x1-x0=H ; x1=x0+H
x2-x0=2H ; x2=x0+2H
xn-x0=nH ; xn=x0+nH
(2) H=x1-x0=(x2-x0)/2=...=(xn-x0)/n Sachant que 2=(x2-x0)/H
(1) devient Y2=D02 + y0 + D0(x0-x0)/H or d'après (2)
2=(x2-x0)/H ; 1=(x2-x0)/2H
de même x1=x2-H et 1=(x1-x0)/H et on a:
y2 = y0 + (x2-x0D0/H + (x2-x0)(x2-x0-H)D02/2H2

Polynôme d'Interpolation de Lagrange

Etant donné (n+1) couple (a0,;b0), (a1,b1), ... (n,bn) tel que b0=f(a0), b1=f(a1),...bn=f(an)
On désire trouver un polynôme Pk de degré k qui vérifie (E).
Le mathématicien Lagrange a montré qu'un tel polynôme existe et que k=n

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Exercice:

Soit les couples A(0,2); B(-1,2) et C(1,4) déterminez le polynôme de Lagrange dont la courbe passe par A, B et C

Solution:

a0=0 ; b0=2
a1=1 ; b1=2
a2=1 ; b2=4
b0(x-a1)(x-a2)/(a0-a1)(a0-a2) + b1(x-a0)(x-a2)/(a1-a0)(a1-a2)
P2(x) = x2 + x + 2
P(0) = 2
P(-1) = 2
P(1) = 4

Polynôme de Lagrange: cas des fractions rationnelles

Soit T(x)=f(x)/g(x) avec degré f(x) < degré g(x)
Alors U0, U1, U2, ..., Un sont des racines simples de g(x) et si de plus

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