Fonction primitive

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
On appelle primitive de f sur [a, b] une fonction F(ƒ) telle que dF(ƒ)(x)/dx=ƒ(x)

Propriété:

Soit f continue sur [a, b], alors deux primitives de f notées F₁ et F₂ sont telles que F₁(x) et F₂(x) = constante quelque soit x appartenant à [a,b]. Géométriquement, si y=F₁(x) et Z=F₂(x) sont deux primitives de f sur [a, b] de courbes respective C'₁ te C₂ alors les tangentes en x₀ à C₁ et à C₂ sont parallèles.

Corollaire

Si ƒ est continue sur [a, b] alors f admet une infinité de primitive sur [a, b].

 

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Notion d'intégrale définit

Soit f une fonction sur [a, b] et F une primitive de f sur [a, b], alors l'intégrale définie de ƒ(x) sur [a, b] est le réel

Propriétés

On suppose f continue sur [a, b]

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Limite d'une somme de Riemann

Approximation de Riemann

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et C_ƒ sa courbe représentative sur un R.O.N (x, o, y). Nous nous proposons de calculer l'aire du trapèze curviligne limité par C_ƒ, l'axe ox et deux parallèles (D₁) et (D₂) d'équation respectives x=a et a=b

Si A est l'aire du trapèze curviligne aABb on peut approcher la valeur de S, somme des n boucles subdivisent aABb. Chaque baud verticale est considérée comme rectangle élémentaire de base x_i+1-x_i et de hauteur ƒ(x_i).
Chaque bande élémentaire a donc une surface élémentaire. La surface de la ligne en escalier

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Théorème de la moyenne

Théorème

Si f est contenue dans un intervalle [a, b], alors:

Exercice:

 

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Intégrales impropres

Intégrales à supports non bornés

ii) Par extension de i) si g est continue sur R

Conséquences

Intégrale à support ouvert et bornée

Soit f une fonction continue sur un support ouvert et bornée du type ]a,k[ ou ]a,k[ ou [a,k[ alors:

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Intégrales en coordonnées polaires

Passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires

Caractérisation

Un pont M(x₀, y₀) du plan xoy est entièrement caractérisé par son module et son argument.

x₀, y₀ sont des fonctions de deux variables indépendantes.

Caractérisation de la longueur d'un arc du plan

ds un élément de la portion de courbe C.
On a ds (différentielle de l'arc C)

Longueur d'une courbe en coordonnées polaires

On a pu montrer que