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Figures symétriques par rapport a une droite

Index de l'article

Deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite (D) si la droite (D) est la médiatrice du segment [AB].
mediane
La médiatrice est une droite qui passe par le milieu d'un segment et forme un angle droit avec le support de ce segment.
mediane2
Chaque point M de la droite (D) est sa propre symétrie par rapport à la droite B.

 


Première propriété

Symétrie des points alignés par rapport à une droite

sym3points

Propriété

Si les points sont alignés, alors leur symétrie par rapport à une droite est aussi alignée.


 


Symétrie d'une droite par rapport à une droite

Si une droite (L) coupe une droite (D) en un point I, alors la symétrie par rapport à la droite (D) de la droite (L) est une droite (L') qui coupe la droite (D) en (I).

Symétrie d'un segment par rapport à une droite

Propriété

La symétrie d'un segment par rapport à une droite est un autre segment de même longueur.

Symétrie d'un angle par rapport à une droite

anglesym


Nouvelles propriétés

Symétrie d'un cercle par rapport à une droite

(C) est un cercle de centre O de rayon 1cm. M est un point de (C) et (D) une droite du plan. O et O' sont symétriques par rapport à la droite (D), M et M' sont symétriques par rapport à la droite (D).
Lecture de l'énoncé: Justifiez que M' est un point du cercle (C) de centre O' et de rayon 1cm.
(C) de centre O et de rayon 1cm. M est un point de (C) et (D) une droite du plan
Conclusion: Justifiez que M' est un point du cercle (C') de centre O' et de rayon 1cm.
2cerclesym

Solution

O et O' son symétriques par rapport à (D). M et M' sont symétriques par rapport à (D). [MO] et [M'O'] sont symétriques par rapport à (D) alors le point M' est placé sur le cercle (C) de centre O' et de rayon 1cm car la symétrie d'un segment est aussi un segment de même longueur.
Propriétés

  • Deux points O et O' sont symétriques par rapport à une droite (D)
  • La symétrie d'un cercle de centre O par rapport à la droite (D) est le cercle de centre O' et de même rayon.

 


Symétrie du milieu d'un segment

[AB] et [A'B'] sont deux segments symétriques par rapport à la droite (D)
Le point I est le milieu du segment [AB].

  • Construisez le point I', symétrique du point I par rapport à (D)
  • Justifiez que le point I est le milieu du segment [A'B']

segmentsym

Lecture de l'énoncé

[AB] et [A'B] symétriques par rapport à (D), I milieu de [AB] I et I' symétriques par rapport à (D)
Justifiez que I' est le milieu du segment [AB]

Solution

Si [AB] et [A'B'] sont symétriques par rapport à (D) Alors AB = A'B'
Si I est le milieu du segment [AB] alors AB= IB, I et I' sont symétriques par rapport à la droite (D) alors I' est le milieu du segment [A'B']

Propriété

La symétrie du milieu d'un segment est le milieu du symétrie de ce segment.

 


Symétrie de deux droites perpendiculaires

ABC est un triangle rectangle en A, (D) est une droite du plan.

  • Construisez la symétrie du triangle ABC par rapport à (D)
  • Quel est la nature du triangle A'B'C'

trianglesym
Les symétries par rapport à une droite de deux droites perpendiculaires sont aussi deux droites perpendiculaires.

 


Symétrie de deux droites parallèles

(D1) et (D2) sont deux droites parallèles. (L) est une droite du plan.

  • Construisez les droites (D'1) et (D'2) respectivement symétriques des droites (D1) et (D2) par rapport à la droite (L).
  • Justifiez que (D'1) et (D'2) sont parallèles

Propriété

Les symétrie par rapport à une droite de deux droites parallèles sont aussi deux droites parallèles.
Construisez un triangle ABC isolé en A.
Construisez le point symétrique du point A par rapport à la droite (BC).

  • Quelle est la nature du triangle ABC? Justifiez votre réponse
  • Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifiez votre réponse.