Parallélogramme, Rectangle, Losange

Parallélogramme

Construction

ABCD est un parallélogramme. La droite (L) est la perpendiculaire à (DC) passant par A, (L) coupe (DC) en H.
Construisez, à l'aide de la règle non graduée, la perpendiculaire à (AB) passant par C

ABCD est un parallélogramme de centre O

• Citez les sommets opposés de ce parallélogramme. Justifiez que les angles B et D ont même mesure
• Citez que les sommets consécutifs au sommet B. Justifiez que les angles B et C sont complémentaires

Solution

Le sommet A est opposé au sommet C le sommet B est opposé au sommet D ODA et OBC alors mesODC=mesOBA. Les angles ADC et ABC ont même mesure. Les angles D et B ont même mesure.

Propriété

Dans un parallélogramme:

• Les angles des sommets opposés ont même mesure
• Les angles de deux sommets consécutifs sont supplémentaires

Reconnaître un parallélogramme

ABCD est un quadrilatère tel que (AB)//(DC) et AB=DC.
Justifiez que ABCD est un parallélogramme
NB: On sait que dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur et leurs support sont parallèles

Solution

Considérons les triangles ABO et DOC
AB = D
AO = OC
BO = DO
Si un quadrilatère a deux côtés opposés de même longueur et de support parallèle alors c'est un parallélogramme.

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Rectangle

ABCD est un parallélogramme tel que AB différent de AD
(AI) est la bissectrice de l'angle DAB.
(BK) est la bissectrice de l'angle ABC.
(CK) est la bissectrice de l'angle BCD.
(DI) est la bissectrice de l'angle CDA.

• Justifiez que le triangle DJC est rectangle.
• Quelle est la nature du quadrilatère IJKL?
• Justifiez votre réponse

Solution

ADC et BCD sont des angles consécutifs alors ces angles son supplémentaires.

Propriétés

Utiliser les longueurs des diagonales

(C) est un cercle O et de rayon 3cm. [AC] et [BD] sont deux diagonales perpendiculaires.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD

Les diagonales d'un rectangle ont même longueur.

Utiliser les axes de symétrie

ABCD est un rectangle, (L) est la médiatrice du côté [AB].

• Justifiez que (L) est l'axe de symétrie du triangle ABCD (AC) coupe (L) en E
• Justifiez que la droite (L') est perpendiculaire à (L) en E qui est l'axe de symétrie du rectangle ABCD

Solution

• Symétrie par rapport à (L)
  A et B sont symétriques par rapport à (L)
  D et C sont symétriques par rapport à (L)
  [AD] et [BC] sont symétriques par rapport à (L)
• Symétrie par rapport à (L').
  A et D sont symétriques par rapport à (L')
  B et C sont symétriques par rapport à (L')
  [AB] et [DC] sont symétriques par rapport à (L)

Dans un rectangle, les médiatrices des côtés sont des axes de symétries

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Reconnaître qu'un parallélogramme est un rectangle

Utiliser les angles

Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.

Utiliser les diagonales

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle

Losange

Reconnaître qu'un quadrilatère est un losange Propriété

Si un quadrilatère a ses côtés de même longueur alors c'est un losange

Reconnaître un parallélogramme losange

Utiliser les diagonales

Si les diagonales d'un parallélogramme ont des supports perpendiculaires alors c'est un losange

Utiliser les côtés

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.

Carré

[AC] et [BD] sont deux diamètres à supports perpendiculaires d'un cercle (C) de centre O. Justifiez que ABCD est un carré.

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.