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Produit scalaire géométrique barycentre - Géométrie métrique

Index de l'article


Géométrie métrique

Distance de 2 points

Soit deux points A(xA; yA; zA), B(xA; yA; zA) dans un repère orthonormé (o, i,j,k). La distance est:

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Distance d'un point à une droite

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D est une droite, H le projeté orthogonal de A sur D. AH se note d(A, D), c'est cette distance que nous devons calculer.
Soit un point du plan A(xo; yo) et (D) une droite d'équation cartésienne, on a:

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Equation du cercle

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Le plan (P) étant rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne du cercle de centre r de coordonnée (a; b) et de rayon R vérifié par un point M(x;y) est la relation suivante
(x-a)2+(y-b)2=R2
x2+y2-2ax-2by+c=0
Avec R2=a2+b2-c

Exemple:

Ecrire une équation du cercle de centre r(1;2) de rayon R=4
a=1 ; b=2
x2+y2-2(1)x-2(2)y+c=0 ↔ x2+y2-2x-4y+c=0
R2=a2+b2+c ↔ c=a2+b2-R2 = 1+4-16 = -11
x2+y2-2x-4y-11=0

Représentation paramétrique d'un cercle

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Etant donné un cercle de centre r(a; b) et de rayon R. On appelle représentation paramétrique du cercle (C) dans le repère (o, i, j), le système suivant:

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Equation cartésienne et représentation paramétrique d'un cercle

  • Donnez une équation cartésienne dont la représentation paramétrique est la suivante:

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  • Donnez une représentation paramétrique à partie de l'équation cartésienne suivante
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Equation d'un cercle de diamètre [AB]

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Soit deux points A(xA;yA), B(xB;yB) du plan et (C) le cercle de diamètre AB. M appartient au cercle (C)

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Tangente en un point d'un cercle

Soit le cercle (C) de centre r de coordonnée (a; b), la tangente (T) à (C) au point A(x0;y0) et M(x;y) un point du plan, on a:

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Exercice:

Soit le cercle (C') d'équation x2+y2-x+2y-3=0 et le point A(1;4).
Déterminez une équation cartésienne de la tangente à (C) au point A.

Solution:

x2+y2-4x+2y-3=0
x2+y2-2ax-2by+c=0
-2ax=-4x ↔ -2a=-4 ↔ a=2
-2by=2y ↔ -2b=2 ↔ b=-1
c=-3
(x-1)(1-2)+(y-4)(4+1)=0 ↔ -(x-1)+5(y-4)=0
-x+1+5y-20=0 ↔ -x+5y-19=0