Epreuve répétable avec N assez grand
Théorie de LAPLACE Local
Si le nombre d'épreuve N est grand, les calculs d'après la formule de BERNOIDE deviennent difficiles à réaliser. Le mathématicien LAPLACE a obtenu une formule approchée importante qui permet de calculer la probabilité BN(m,p) pour qu'un événement A se réalise exactement m fois lorsque N est suffisamment grand.
Probabilité de m succès au cours de N épreuves (N>>1)
Exercice:
La probabilité pour qu'un tireur atteigne le but en tirant un seul coup est P=0,2.
Quel est la probabilité pour que le but soit atteint 20 fois en 100 coups?
Résolution:
m=20 ; p=0,2 ; q=0,8 ; N=100
Evénement accident loi de POISSON
Supons qu'on effectue N épreuves successives indépendante que la probabilité p de la réalisation d'un événement donné au cours de ces m épreuves dépendent de N.
Nous allons supposer par la suite que P⟶0 lorsque t tend vers l'infini (événement rare et accidentel).
Si de plus dans chaque série, la valeur moyenne µ du nombre de répétition de l'événement est constant, on pose µ=N.P=constante.
Exercice:
Un central téléphonique automatique reçoit 300 appels par heure:
- Quelle est la probabilité que durant une minute donnée il reçoit exactement deux appels?
- Quelle est la probabilité qu'en une journée de 24h il reçoit exactement 10000 appels
Résolution:
- µ: moyenne des appels par minute de temps.
300appel/1heure = 5appels/1minutes = µ
m=2
PN(2,9) = 52e-5/2! = (25)(0,0067)/2! = 0,084
PN(2,p) = 0,084 = 8,4% - m = 10000
300 ⟶ 1h
? ⟶ 24h
µ = 300 x 24 = 7200
PN(10000,P) = 720010000e-7200/10000!
Exercice:
Un livre de 1000 pages contient 100 erreurs:
- Quelle est la probabilité de trouver exactement 3 erreurs sur 1 page au hasard?
- Quelle est la probabilité de trouver au moins 4 erreurs sur 1 page ouverte au hasard?
Résolution:
µ=0,1S/p ; m=3
PN=(3,p) = 0,13e-0,1/3! = 0,015%
PN(3,7) = 0,015%
- Soi E l'événement "au moins 4 erreurs su 1 page" et P(E) sa probabilité.
E = "au plus 3 erreurs sur une page"
E = "0 erreur/page" ou "1 erreur/page" ou "2erreures/page" ou "3erreures/page"
P(E) = 1 - P(E)
P(E) = 1 - P(E)
P(E) = 3,846%
Probatoire A-ABI 2021 Epreuve de littérature ou de culture générale