Généralités

Forme algébrique d'un nombre complexe

L'ensemble des nombres est noté C.
C est aussi un espace vectoriel à deux dimensions: base (e₁=1; e₂=i)

Opération algébrique dans C

Soit z₁ et z₂ dans C, z₁=a₁+ib₁ et z₂=a₂+ib₂ alors on a les relations:

Module de Z:

Autres relations remarquables

Si Z=a+bi

Forme trigonométrique d'un complexe

Soit donnée la représentation d'un complexe z dans le plan C:

Ainsi on établit pour z plusieurs notations simplifiées.

Fonctions à variable complexe

Soit f une fonction définie de C→C

Limite et continuité

• La fonction f admet une limite L en Z₀ si

• f test continue en Z₀ si
  lim f(Z) = f(Z₀)
  Z → Z₀

Dérivée, différentielle d'une fonction complexe

On appelle dérivée de la fonction complexe ƒ(Z) le rapport

Différentiel d'une fonction complexe

Une fonction f: z → f(z) est différentiable en z₀ si

Exercice 1:

Soit ƒ(z)=e^z-2iz
ƒ est-elle différentiable dans C

Exercice 2:

Dérivées des fonctions usuelles dans C

Z appartient à C
(zⁿ)' = nZ^n-1
(e^z)' = e^z
(cosZ)' = -Sin
(SinZ)' = CosZ
(linZ)' = 1/Z
(Arc SinZ)' = 1/(1-Z²)^½
(Arc CosZ)' = -1/(1-Z²)^½
(Arc tgZ)' = 1/(1+Z²)
(ShZ)' = ChZ
(ChZ)' = ShZ

Fonction analytique

Si f est continue sur un domaine D et dérivable partout sur D, on dit que f est analytique sur D.

m connexité

On définit de la même manière des domaine: 3-connexes; 4-connexes; ...; m-connexes.
Une frontière interne peut être réduite à un point, on a un segment.

Représentation conforme

Soit Z=x+iy et f(z) = x'+iy' une fonction analytique sur D. Soit A(x₀,y₀) appartenant à D, alors la représentation conforme du point A par f est le point f(A) d'affixe n₀x'+iµ₀y' dans le repère (o,x',iy').
La transformation conforme consiste en passage du repère (o, x, iy) vers (o,f(x),f(iy)).

Exercice:

Soit f(z)=Z³.
Déterminez la transformation conforme des droites D₁ et D₂ d'équation respectives: y=x et y=-x-2

Correction:

Posons Z=x+iy → f(z)=-Z³=x'+iy'
Z³=(x+iy)³=x³-3xy²+[-y³+3x²(y)] (E)
Pour trouver l'image de (D₁) on introduit y=x dans (Z)
x = y
x' = x³ - 3x(x)² = -2x³
y' = -(x)³ + 3x²(x) = 2x³
x' = -y', c'est l'image de D

Pour trouver l'image de D₂, on remplace y=-x-2 dans (E). Ou bien (₂), déterminons les transformées de deux points de D₂