Série de Fourier

Intégration de fonctions paires ou impaires

Cas d'une fonction paire

Soit P(x) une fonction continue par morceau et paire sur un intervalle U= [-a; +a]

"L'intégrale d'une fonction paire sur un intervalle symétrique est le double de l'intégrale calculée sur la moitié de l'intervalle"

Cas d'une fonction impaire

Soit une fonction continue par morceau et impaire sur un intervalle V= [-h; +h].

"L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle"

Série trigonométrique de Fourrier

Soit f une fonction sur un intervalle [-l; +l]. On appelle série de Fourrier de f notée S.F(f).

Cas d'une fonction 2l périodique

Si f est une fonction périodique de période T=2l alors (f(x)) est développable sur un intervalle symétrique ou non symétrique de diamètre T.

Exercice :

Remarque:

SF (ƒ(x)) aux points de discontinuité de première espèce

Si f présente les points de discontinuité de première espèce en x₀; x₀₂; x₀₃;... ; x_0n alors

Propriétés:

Si f est paire les cœfficient b_n de SF(ƒ) sont tous nuls.
Si f est impaire alors les coefficients a_n de la SF(ƒ) sont tous nuls.

Cas de fonctions non périodique

Soit g une fonction quelconque définie sur un intervalle [a, b], alors on peut définir la série de Fourrier de g par deux méthodes simples:

Première période:

On peut choisir un intervalle symétrique [-h; +h] < [a, b] et établir SF(g(x)) sur [-h; +h].

Deuxième période:

On peut choisir un intervalle [a, k] et utiliser la restriction de g sur [0, k] puis établir un prolongement g sur [-k; 0] telle que la nouvelle courbe ainsi construite soit paire ou impaire.

Exemple:

Soit f(x)=x+1

Choisissons un intervalle symétrique par exemple

ƒ(x) = x+1

Condition de Dirichlet

Une fonction f définie sur [a, b] vérifie les conditions de Dirichlet si (i) et (ii)
(i) La courbe de f (C_ƒ) admet un nombre fini d'extrema sur [a,b].
(ii) Si f admet les points de discontinuité, alors ceux-ci sont de première espèce.

Conclusion:

Une fonction est dérivable en série de Fourrier sur [a, b] si elle vérifie les conditions de Dirichlet auquel cas: