Dérivées partielles

Considérons un champ scalaire ou une fonction à 3 variables coordonnées d'un point de l'espace.
µ: M(x, y, z) → µ(M) = µ(x, y, z)
En fixant 2 variables, par exemple:
y = y₀ = constante
z = z₀ = constante
On obtient une fonction à une variable x. Si cette fonction à une variable est dérivable alors sa dérivée est encore la dérivée partielle de µ par rapport à la variable x. On écrit :

Exercices

Exercice 1:

Trouvez V la fonction x et y telle que:

Exercice 2:

Différentielle: Opérateur gradient

Considérons une fonction définie sur une partie ouverte non vide de R³ µ:r→R
La différentielle de µ au point M₀(x₀,y₀,z₀) est la variation de µ lorsque M₀ passe de M₀ avec:

Opérateur Nabla

Gradient:

Le gradient de U est le champ de vecteur

Plan tangent à une surface

Considérons la surface d'équation U(x, y, z)=c où c=constante.
Soit M₀(x₀, y₀, z₀) un point de cette surface. Le plan tangent à la surface ci-dessus au point M₀ est le plan passant par M₀ du vecteur normal.

Dérivée dans une direction

Propriétés des différentielles

u et v sont deux fonctions scalaires: