Triangles particuliers

Triangle isocèle

Propriété

Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice de sa base.

Axe de symétrie

L'unité de longueur est le centimètre.
Construisez un triangle ABC tel que AC=AB=5 et BC=4

• Construisez la médiatrice (D) du côté [BC].
• Justifiez que (D) est un axe de symétrie du triangle ABC
• Quelle conséquence pouvez-vous en tirer?

Angle de la base

Les angles de la base d'un triangle isocèle ont une même mesure

Reconnaître un triangle isocèle

Utiliser les côtés

A et B sont des points d'un cercle de centre O. La corde [AB] n'est pas le diamètre.
Quelle est la nature du triangle OBA ?

Si un triangle admet deux côtés qui ont une même longueur, alors ce triangle est un triangle isocèle.

Utilisez l'axe de symétrie

Construisez un triangle ABC tel que (D) soit un axe de symétrie.
Quelle est la nature de ce triangle? Justifiez votre réponse.
Si (D) est l'axe de symétrie, A est sa propre symétrie par rapport à (D)
A et C sont symétrique par rapport à (D).
[AB] et [AC] sont symétriques par rapport à (D), les angles B et C sont symétriques par rapport à (D), alors ABC est un triangle isocèle.

Utiliser les angles

L'unité est le centimètre.
Construisez un triangle ABC tel que B=5,5 et mes = B = mesC = 65° Quelle est la nature de ce triangle? Justifiez votre réponse.

Propriété

Si un triangle a deux angles de même mesure alors il est isocèle.

Construction de la bissectrice d'un angle

Triangle équilatéral

Propriétés

Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie, ils sont les médiatrices de ces côtés. Les angles d'un triangle équilatéral ont une même mesure, cette mesure est 60°.

Construisez un triangle ABC dont la longueur des côtés est de 3cm.

• Quelle est la nature de ce triangle. Construisez les médiatrices des côtés de ce triangle.
• Justifiez que ces droites sont des axes de symétrie de ce triangle. Construisez le cercle circonstanciel à ce triangle.
• Le centre du cercle circonscrit à ce triangle de symétrie de ce triangle? Justifiez votre réponse.

Solution

Reconnaître un triangle équilatéral

Utiliser les côtés

(C) est un cercle de centre O. A est un point du cercle (C), (D) est la médiatrice du segment [OA]. La droite (D) coupe le cercle (C) aux points B et E.
Justifiez que le triangle ABO est équilatéral.

Solution

BO = AO(rayon du cercle (C)) (BE) est la médiatrice du segment [OA]. BO=BA. Ainsi BO=BA=AO, alors ABO est un triangle équilatéral.

Si un triangle a 3 côtés de même longueur alors il est équilatéral

Utiliser les angles

Propriété

Si un triangle a ses 3 angles de même mesure alors il est équilatéral.
Un triangle isocèle qui a un angle de 60° est équilatéral.
Construisez un triangle ABC tel que le côté [BC]=6,5 et mesB = mes = 60°

• Quelle est la mesure de l'angle Â? Justifiez votre réponse
• Quelle est la nature du triangle ABC? Justifiez votre réponse

Solution

ABC est un triangle équilatéral car les angles d'un triangle équilatéral ont même mesure: mesÂ=mesB=mesC=60°

Le triangle rectangle

Propriété

Les angles aiguës d'un triangle rectangle sont complémentaires
Construisez un triangle rectangle en A dont un côté est 4cm et donc l'hypoténuse est de 5cm. Calculez mesB + mes C

Solution

Cercle circonscrit

Si un triangle ABC est rectangle en A alors le cercle de diamètre BC passe par le point A
L'hypothèse d'un triangle est le côté le plus long de ce triangle.

Reconnaître un triangle rectangle

Utilisez les angles

ABC est un triangle tel que les angles B et C sont complémentaires.
Quelle est la nature du triangle ABC?
Justifiez votre réponse.

Solution

ABC est un triangle, les angles B et C sont mesB + mesC = 90° or mesÂ+mesB+mesC=180°
mesÂ=180°-90°
mesÂ=90°
Alors ABC est un triangle rectangle A

Utilisez le cercle circonscrit

A est un point d'un cercle O et de diamètre [AB]. Le point A est distinct des points B et C.
Justifiez que l'angle BÂC est droit

Solution

Nature du triangle OBA. OBA est un triangle isocèle. BO=AO (rayon du cercle) mesOBA=mesOCA?
OCA est un rtriangle isocèle en O, AO=CO (rayon du cercle) mesOÂC=OCA pour le triangle BAC,  mesBÂC=mesCBA+mesBCA, ABC est un triangle rectangle en A.
Propriété 1: Si un triangle à deux angles complémentaire alors il est rectangle.
Propriété 2: Si A est un point de diamètre BC alors le triangle ABC est rectangle en A