Les vecteurs

Une droite est une section de points illimités.

Un segment de droite est une portion de droite limitée par 2 points A et B quelconque.

Un vecteur est un segment de droite orienté. A est l'origine et B l'extrémité.

Un vecteur est caractérisé par sa direction (le support); son sens (celui de A vers B); son module (la distance AB).

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Somme vectorielle: relation de Chasles

Soient 3 points ABC alignés, on a:

Soient 3 points ABC non alignés, on a: vecteur AB et vecteur AC ont la même origine.

Pour construire le vecteur somme de AB et AC, c'est-à-dire AB+AC on construit le point D de façon que ABDC soit un parallélogramme.

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Coordonnées d'un vecteur

Repère orthonormée

Un repère orthonormé est un système d'axe perpendiculaire à un point O appelé origine. L'axe horizontal est appelé l'axe des abscisses ou axe des x ou l'axe des temps et l'axe vertical est appelé l'axe des y ou l'axe des ordonnées ou l'axe des espaces.
Un point quelconque A est représenté simultanément dans le temps et dans l'espace et s'écrit ainsi A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B).

Exemple 1

Plaçons les points ABC tels que B (-4; 5); C (3; -3) dans un repère (O,I,J).

Soient deux points A et B quelconques tels que A (x_A; y_A); B (x_B; y_B). Le vecteur AB a pour coordonnée (composantes) AB (x_B-x_A; y_B-y_A).

Exemple 2

Soient les points A,B,C déterminons les coordonnées des vecteurs AB; BC; AC
A(1; 2); B(-4; 5); C(3; -3)

AB(x_B-x_A; y_B-y_A) = (-4-1; 5-2) = (-5; 3)
BC(x_C-x_B; y_C-y_B) = (3-(-4); -3-5) = (7; -8)
AB = (2; -5)

 

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Vecteurs égaux

Deux vecteurs U(x; y) et V(x'; y') sont égaux si et seulement si leurs abscisses sont égales et leurs coordonnées aussi U=V ↔ (x=x'; y=y')

Exemple

Déterminons xy pour que les vecteurs U(x+1; -3) et V(-2; y-5)
U = V ↔ (x+1 = -2 ↔ x = -3; y-5 = -3 ↔ y = 2)

Exercice 1

On donne A (2; -2) et B (0; 4), déterminons les vecteurs de OA; OB; AB.

OA (x_A-x_O; y_A-y_O) = (2; -2)
OB(x_B-x_O; y_B-y_O) = (0; 4)

Exercice 2

Déterminons les coordonnées des points M tel OM=OI+3J ↔ M(0; 3)

Exercice 3

Soit un point A (-2; -2). Déterminons les points de B tels que AB (5; 3) et A(-2; -2)
AB(x_B-x_A; y_B-y_A) = (5; 3)
x_B + 2 = 5 ↔ x_B = 3
y_B + 2 = 3 ↔ y_B = 1
B(3; 1)

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Vecteurs colinéaires

 

Deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs qui appartiennent à une même ligne. Deux vecteurs U et V sont colinéaires si et seulement si le déterminant de leur matrice de passage est égale à zéro
U(x; y) et V(x'; y')
U et V colinéaires ↔ det(U; V) = 0

 

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Vecteur orthogonaux: points alignés

3 points ABC sont alignés si et seulement si AB+BC=AC. Montrons que A,B, C sont alignés

Exemple:

A(3; 1); B(-1; 5); C(1; 3)
A, B et C sont alignés ↔ AB+BC=AC
or AB(-4; 4); BC(2; -2); AC(-2; 2)
AB+BC=(-4; 4)+(2; -2)=(-2; 2)=AC

 

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Coordonnées du milieu d'un segment

On appelle segment de droite, une portion de droite limitée par deux points A et B quelconques. Le milieu d'un point qui divise ce segment en deux segments égaux. Le milieu I d'un bipoint A et B s'obtient par I_AB((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2)

Exemple

Déterminons les coordonnées du point I milieu de (AB) tel que A(-3; 4); B(1; 2)
I_AB((-3+1)/2; (4+2)/2) (-1; 3)

 

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Vecteur orthogonaux

Deux vecteurs U et V sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égale à zéro.

Exemple

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Distance de deux points

Soient deux points A et B quelconques, on appelle distance AB notée: d(AB) la longueur du segment AB

Exemple

Soient A(-2; 3), B(3; 1) et C(0; -2)