Coordonnées d'un vecteur
Repère orthonormée
Un repère orthonormé est un système d'axe perpendiculaire à un point O appelé origine. L'axe horizontal est appelé l'axe des abscisses ou axe des x ou l'axe des temps et l'axe vertical est appelé l'axe des y ou l'axe des ordonnées ou l'axe des espaces.
Un point quelconque A est représenté simultanément dans le temps et dans l'espace et s'écrit ainsi A(xA; yA) et B(xB; yB).
Exemple 1
Plaçons les points ABC tels que B (-4; 5); C (3; -3) dans un repère (O,I,J).
Soient deux points A et B quelconques tels que A (xA; yA); B (xB; yB). Le vecteur AB a pour coordonnée (composantes) AB (xB-xA; yB-yA).
Exemple 2
Soient les points A,B,C déterminons les coordonnées des vecteurs AB; BC; AC
A(1; 2); B(-4; 5); C(3; -3)
AB(xB-xA; yB-yA) = (-4-1; 5-2) = (-5; 3)
BC(xC-xB; yC-yB) = (3-(-4); -3-5) = (7; -8)
AB = (2; -5)
Vecteurs égaux
Deux vecteurs U(x; y) et V(x'; y') sont égaux si et seulement si leurs abscisses sont égales et leurs coordonnées aussi U=V ↔ (x=x'; y=y')
Exemple
Déterminons xy pour que les vecteurs U(x+1; -3) et V(-2; y-5)
U = V ↔ (x+1 = -2 ↔ x = -3; y-5 = -3 ↔ y = 2)
Exercice 1
On donne A (2; -2) et B (0; 4), déterminons les vecteurs de OA; OB; AB.
OA (xA-xO; yA-yO) = (2; -2)
OB(xB-xO; yB-yO) = (0; 4)
Exercice 2
Déterminons les coordonnées des points M tel OM=OI+3J ↔ M(0; 3)
Exercice 3
Soit un point A (-2; -2). Déterminons les points de B tels que AB (5; 3) et A(-2; -2)
AB(xB-xA; yB-yA) = (5; 3)
xB + 2 = 5 ↔ xB = 3
yB + 2 = 3 ↔ yB = 1
B(3; 1)