Equations différentielles - Equations différentielles d'ordre 2

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Equations différentielles d'ordre 2

 

Ce sont les équations différentielle de la forme (y",y',y,x)=0 donnant une solution générale R(y,x,c1,c2)=0 (ou de manière implicite y=f(x,c1,c2). Nous étudions 5 types d’équation différentielle.

 

1ertype: y"=f(y,y')

 

Dans ce cas il faut faire le changement de variable. En effet (1)

 
 

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Exemple:

Résoudre les équations différentielles suivantes:

  1. 1+y'2 = yy"
  2. yy"-y'2 = 0

Rappel:

 
 

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Autres types : quelques indications

  1. Type y=xy'+φ(y') faire y'=P
  2. Type F(x,y',y")=0 faire y'=ty
  3. Type F(y",x)=0 faire 2 intégrations de y"

Equation linéaire (II) à coefficient constant

 

Ce sont des équations différentielles de la forme a2y"+a1y'+a0y=f(x) (E) où a2, a1, a0 sont constantes, deux cas de solutions de ce type d'équation différentielle:

  • 1e cas: aucune solution particulière connue
  • 2e cas: o, connait une solution particulière

Si aucune solution particulière n’est connue.

 

1ièreétape: Résolution de l'équation différentielle homogène.
a2y"+a1y'+a0y=0 (E') on pose y=erx
(E'): a2r2erx+a1rerx+a0erx=0
ers(a2r2+a1r+a0)-0

Equation caractéristique (E,C)

Résolution de (E,C):

  1. Si (E,C) admet deux racines distinctes réelles:

α1 et α2 alors (E') a pour solution y=C1eαx+C2αx

  1. Si (E,C) admet une racine double, alors (E') a pour solution:

y = (C1+C2x)eαx

  1. Si (E, C) n'admet pas de solution réelle mais deux solutions

α1±βi complexe alors (E') a pour solution y=(C1Cosβx+C2Sinβx)eαx

 

Exemple:

Résoudre y"-4y'+13y=0
r2erx-4rerx+13erx=0
erx(r2-4r+13)=0

 

Solution:

y=e2x[c1sin3x+c2cos3x]
y=c1y1(x)+c2y2(x)
2eétape: Résolution de l'équation non homogène (E)
Supposons la solution de (E') de la forme c1y1(x)+c2y2(x), alors la variation des constantes se construit selon le système :
c1 ⟶ c1(x)
c2 ⟶ c2(x)
Et on résout le système:
c'1(x)y1(x)+c'2(x)y2(x)=0
[c'1(x)y'1(x)+c'2(x)y'2(x)=f(x)
Ce système nous permet de déterminer c1(x) et c2(x) et d'en déduire la valeur de la solution générale:
y=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)

Exemple:

Résoudre y"-4y'+13y = 2x+1 (E)

Solution:

y=c1e2xsin(3x)+c2e2xcos3x

 
 

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