Equation différentielle d'ordre 1

On rappelle qu'une équation différentielle est une relation de la forme R[f⁽ⁿ⁾(x),f^(n-1)(x),...,f(x),x)]=0 (E), la résoudre consiste à trouver une ou plusieurs fonctions vérifiant (E) connaissant ou non une solution particulière de (E). Le plus haut degré de f^(N) est l'ordre de l'équation différentielle.

Forme générale

Une équation différentielle d'ordre 1 est de la forme y'=f(x, y) (E) est solution de la forme y=G (x: constante).

Equations différentielles séparables

Forme générale y'=f(x)g(y) (E₁) ou X₀(x)Y₀(y)dxX₁(x)Y₁(y)dy=0 (E₂)
Résolution de (E₂): On aura:

Exemple:

Trouvez la solution particulière de l'équation différentielle:

Equation différentielle homogène

Une fonction F(x, y) est homogène d'ordre N si:

Soit l'équation différentielle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 où P et Q sont des fonctions homogènes d'ordre N. On amènera (E) sous la forme Y'=f(y/x) et on effectue Y=Kx

Exemple:

Trouvez la solution générale de (x²2xy)dx+xydy=0 (E)
P(x,y)=x²+2xy , P(tx,ty)=t²x²+2t²xy=t²P(x,y)
Q(x,y)=xy ; Q(tx,ty)=(tx)(ty)=t²xy=t²P(x,y)
Posons y=Kx (où K et x sont des variables)
dy=Kdx+xdk
(E) : [x²+2x(kx)]dx+x(Kx)[Kdx+xdK]=0
[x²+2Kx²+K²x²]dx+Ks³dK=0
x²(1+2K+K²)dx+Kx³dK=0
(1+2K+K²)dx=-KxdK