Equation et inéquation du second degré - système d'équation

Mathématique

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Equations du second degré

Polynôme du second degré

Un polynôme du second degré est toute application f:R→R qui à toute valeur de x associe f(x)=ax²+bx+c avec a appartenant à R*, b appartenant à R; c appartenant à R.

Mise sous forme canonique d'un polynôme du second degré

Equation du second degré

On appelle équation du second degré, toute expression de la forme ax²+bx+c=0 avec a appartenant à IR*; b appartenant à R; c appartenant à R

Résolution

La résolution de ce type d'équation est dépendante du discriminant D=b²-4ac

Si D<0 , l'équation n'admet aucune racine réelle S=Ø
Si D>0 , l'équation admet deux racine distincte:

Si D=0, l'équation admet une racine

Exercice: Résolution d'une équation bicarrée.
x⁴ - 4x² - 45 = 0
↔ (x²)² - 4x² - 45 = 0
Posons X = x²
X² - 4X - 45 = 0
D = (-4)² - 4(-45) = 196 = 14²
X₁ = ½(4-14) = -5 ; X₂ = ½(4+14) = 9
Comme x² = X
↔ x² = -5 (impossible)
↔ x² = 9 équivaut à x = 3 ; x = -3
S = {-3 ; 3}

Signe du polynôme du second degré

Soit le polynôme f(x)=ax²+bx+c avec a différent de 0

Si Δ<0 ax²+bx+c est du signe de a pour tout signe réel

Si Δ=0 le polynôme ax²+bx+c est du signe de a

Si Δ>0 le polynôme ax²+bx+c possède 2 racines réelles distincte

Théorème:

Le polynôme du second degré ax²+bx+c avec Δ>0 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a à l'intérieur.

Somme et produit des racines

Recherche de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution de l'équation paramétrique du second degré

Discutez suivant les valeurs du paramètre m l'existence, le signe des racines de l'équation suivante: (m+4)x²+(2m+5)x+m-2=0

Si m+4=0 ; m=-4 l'équation est du premier degré et on a (-4+4)x²+[2(-4)+5]x-4-2=0
↔ 0x²-3x-6=0 ↔ x=-2 S= {-2}
Si m+4 différent de 0 ; m différent de -4, l'équation est du second degré. Calculons le discriminant.

Résolution des systèmes linéaires dans IR² et IR³

Résolution des systèmes linéaires dans R²

Ce sont les systèmes d'équation de la forme:
ax + by + c = 0
a'x + b'y + c' = 0
Comme méthode de résolution, on distingue:

Méthode par substitution
Méthode par combinaison
Méthode du déterminant ou système de CRAMER

Exemple:

Résoudre dans R₂ le système d'équation suivant
3x + 4y = 2
2x + 5y = 1

Méthode par substitution

3x = 2 - 4y ↔ x = (2-4y)/3
2(2-4y)/3 + 5y = 1
↔ 4 - 8y + 15y = 3
↔ 7y = -1
↔ y = -1/7
S = {(6/7 ; -1/7)}

Par comparaison

Méthode du déterminant ou de CRAMER

Résolution des systèmes dans R³

Ce sont des systèmes de la forme

Pour résoudre ce type de système, on distingue comme méthode:

Méthode par substitution
Méthode du pivot de GAUSS

Méthode par substitution

Exercice 1:

Résoudre dans R³ le système d'équation suivant:

Exercice 2:

Résoudre dans R³ le système d'équation suivant:

Méthode du pivot de GAUSS

Il est question dans cette méthode d'éliminer d'abord l'inconnu x par combinaison dans (E₂) et (E₃). (E₁) étant le pivot. En suite éliminer l'inconnu y dans la dernière équation obtenue, ce qui permet de trouver l'inconnu z. Le système "triangulaire"

Ainsi obtenu permet de trouver les autres inconnues en commençant par la dernière équation puis remonter progressivement jusqu'à la première.