Généralités

On définit deux structures d'ensemble: les "groupes" et les "corps".

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Définitions

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Quelques exemples d'espace vectoriel

Définition

Un sous espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel.

 

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Système de vecteurs

Soit F={e₁,e₂,...,e_N} une famille de n vecteurs de E. L'objectif est de savoir s'il existe ou non un vecteur e_g appartenant à F capable de s'écrire comme combinaison linéaire des autres vecteurs.
Si un tel vecteur existe, alors F est une famille liée (système indépendant)
Sinon , F est une famille libre (système indépendant)

Caractérisation des systèmes libres

La famille F={e₁,e₂,...,e_N} est libre si et seulement si aucun vecteur de F ne peut s'écrire comme combinaison d'un autre.

Caractère des systèmes liés

Exercice

 

Pour quelles valeurs de m, le système est libre.

Correction:

 

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Base et dimension d'un espace vectoriel

Système générateur

Base d'un espace vectoriel

Dimension

Si ε admet une base de N vecteurs alors on l'appelle la dimension de ε (notée dimε)

Vocabulaire

Conséquence

Changement de base

Un espace vectoriel contient une infinité de bases.

Inversion de matrice:

Objectif: Effectuer des combinaisons linéaires pour obtenir I₃ à gauche : M^-1 apparaitra à droite.

Exercice:

Matrice de passage

Conséquence:

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Somme directe de sous espace vectoriel

Soit E_N un espace vectoriel de dimension N sur K, considérons A un sous espace vectoriel de E_N alors:

0 ≤ dimA ≤ N (1)

Somme de sous-espace vectoriel

Si A et B sont deux sous ensembles vectoriels de E_N avec dimA=K, dimB=r avec r+K=N (2).
Alors on notera E_N=A+B (3)

Somme directe de sous ensemble vectoriel

Cas de deux sous ensembles vectoriels de E_N

Cas de (P) sous ensemble vectoriel de E_N

Soit P sous ensembles vectoriel de E_N